由于息票率高于3%，CTD券一般为久期较长的可交割券种，目前市场上经常充当CTD券种的剩余到期期现均在6年以上，而上市的国债期货ETF（以511010为例）模仿上证5年期国债指数，期现不同的两种债券如何配比是实际操作中需要处理的问题。国债ETF与国债期货之间准确的无套利均衡关系并不明确，直接运用两者比价进行分析可能会得出错误结论。针对以上问题，本文利用券种间的久期关系，在一定假设下推导出不同期限的国债ETF与国债期货间的准确均衡等式，并以计量方法估计出两者配比系数，为该策略的实施提供了一种思路。

　　无套利均衡推导与转化

　　无套利均衡是金融市场分析的起点，在有效金融市场中只要出现偏离均衡状态，众多金融主体的套利行为就会使得市场重新回归。对于国债期货而言，其无套利均衡体现为隐含回购利率（IRR）与无风险收益率之间的关系：

　　(1)

　　上式左侧为IRR，右侧为r无风险收益率，F为期货净价，CF为转化因子，P为现券净价，AI为现券应计利息，T为距交割期剩余天数。

　　国债期货隐含回报率（IRR）体现了在t时期买入国债现券、卖出国债期货，持有到期后以现券交割，所得到的差价报酬的年化收益率。在买卖成本为0的假设下，若IRR大于购买国债的融资成本r即无风险收益率，则套利机会成立，投资者可融资买入国债、卖出期货，获取IRR与无风险收益之间的利差。而大量的套利操作则会推升国债价格，使IRR重新下降到r的水平。

　　为便于操作，对（1）式两边取对数，得到

　　（2）

　　（2）式为价格均衡，表明期货全价、现券全价与时间趋势的一次项之间存在着长期关系（右侧R为瞬时收益率），其与（1）式是完全等价的，但所蕴含的均衡含义有所不同，其表明期货全价与现货全价的相对差额，随着时间的流逝以无风险收益率为斜率递减。在实际操作中，当两者差额超出合理范围时就意味着出现了无风险套利机会。

　　国内现行状况下，债券多采取场外交易，银行间市场的诸多限制使得Pt所代表的债券现货难以入手，造成（5）式套利方法难以实现，本策略的思想是以相对容易入手的国债ETF替代债券现货。若以下条件成立，ETF可实现完全复制：

　　一是利率曲线的移动均为平行移动。

　　二是忽略债券凸性以及更高阶的利率变化对价格的影响。

　　三是ETF本身的久期不发生变化。

　　在以上条件下，假设国债ETF久期与现券久期之间存在着稳定的比例关系：

　　（5）式是本套利策略的核心等式，需要指出的是在对应券种确定的情况下（一般情况为可交割券种中久期最长的债券），（5）式中仅有α（久期比例系数）与R（瞬时无风险收益率）是未知的。本文的下半部分将运用统计方法对未知参数进行估计，此后可运用该无套利均衡式进行套利操作。

　　计量模型的参数估计

　　将数理模型（5）转化为计量模型以便对未知参数进行估计（添加平稳随机项εt），可得

　　（6）

　　一般认为价格F与ETF为非平稳过程，但（6）式均衡符合Engle―Granger（1986）的协整均衡的定义（几个非平稳序列经过线性组合后变成平稳序列），当εt为平稳过程时，对上式的估计可采用最小二乘法得到参数的超一致估计值。但需要注意的问题是α是一个非线性参数，而对该参数估计的准确与否决定了策略的实际效果，是该策略的一个技术要点，目前的计量理论中存在多种方式对其进行估计，如非线性OLS，贝叶斯方法。

　　本文将（6）式在数理上进行进一步处理，目的是实现关键系数α的线性化，以用于统计估计。调整后的式子与（6）式存在相似性，但参数的意义发生变化：

　　（7）

　　其中D=(T-t)/365，C为常数项，对（7）的估计可采用E―G两步法或Johansen（1995）的ML方法，应当注意的是均衡中自然包含有剩余到期日（使用Johansen方法时，则自然包括时间趋势项t），若以日期序列进行估计其斜率的估计值乘以365便可得到调整后收益率R的估计值。在样本选取上，采用TF1403的交易周期上的所有样本，对应ETF的选用511010上证5年国债ETF，采用简单OLS估计，结果如图1所示。

　　对于估计结果需要做两点解释：一是各参数均为显著，说明均衡式中包括时间趋势项，表明直接对ETF与国债期货进行比价分析时，其比价必然会随着时间存在上升或下降的趋势，该方法在这里不能直接运用。二是α的估计值大于1，表明国债期货所对应的CTD久期大于上证5年国债所合成的债期久期，符合实际。

　　策略效果

　　将估计出的参数代入（7）式，对每次调价进行监控，当期货价格与ETF价格远离均衡式时，即υt超出一定范围时，便可以建立套利头寸，待差价回归以平仓获利。图2是R软件提取的υt的1个月跳价，若以ETF手续费千分之一测算，则在0.2以上均为建立头寸时机，而随着手续费的下降，二者将呈现出可观的利润空间。

　　总结

　　国债期货与ETF之间的套利思想由来已久，但由于具体的配比关系与操作方法等技术问题，使得该策略在实际运用中遭遇困难。本文尝试从债券的久期角度寻找二者的配比关系，并采用计量方法准确估计了策略中的无套利均衡关系，为该策略的实施提供了理论思路。需要指出的是本文推导的假设利率曲线只包含平行移动，尤其是在5年与7年间曲线不发生斜率变化，当该假设不满足时系数将会出现不稳定。另外，对于关键参数α的估计不仅仅限于参数方法，半参数方法可能在此问题中更加有效，甚至可运用非统计方法。